Neprocedurální programování, cvičení

• Domů
• O cvičení
• Zápočty
• Poznámky ze cvičení
• Domácí úkoly
• Přihlášení studenti

1. cvičení 5.3.2009

• O Prologu (miniopakování z přednášky)
• Syntaxe: jednoduché a složené termy, proměnné, atomy, čísla, řetězce, struktury
• Program v Prologu: klauzule, fakta, pravidla, procedury, komentáře
• Práce s interpretem Prologu: načtení souboru do paměti pomocí consult('mujprogram.pl'), halt (konec práce), ?- (prompt)
• Mechanismus kladení dotazů, operátory ',' a ';'
• Anonymní proměnná, "vstupní"/"výstupní" proměnné
• Backtracking: jak se vyhodnocují dotazy (na příkladech)
• Jednoduché predikáty o rodinných vztazích
• popis databáze rodinných vztahů pomoci predikátů rodice(On,Ona,Dite), muz(On), zena(Ona)
• manzele(On,Ona) + reflexivita
• další predikáty o rodinných vztazích - např. bratranec(Bratranec,Koho), prababickazotcovystrany(Ona,Pravnouce)
• Na rozmyšlenou: tchan(Tchan,Koho), snacha(Snacha,Koho), prastryc(Prastryc,Koho) a podobně
• Obarveni mapy čtyřmi barvami
• je dána následující mapa:
  
• pro tuto mapu jsme definovali predikát obarvi(A,B,C,D,E,F), kde A,...,F jsou barvy (cervena, modra, zelena, zluta) a sousedni staty nesmi byt obarveny stejně
• dvě různá řešení (jde to i bez negace)
• Strom
• je dán následující graf:
  
• popis grafu fakty hrana(Od,Do)
• rekurzivni predikát cesta(Od,Do) - různé varianty procedury a nebezpečí zacyklení

2. cvičení 12.3.2009

• Hrátky s unifikací
• Uvažujeme následující program:
  t(a,b).
  t(a,c).
  g(t(A,_),t(A,_)).
  gh(gh(X,_),X).
  
• Jaké budou odpovědi interpretu Prologu na následující dotazy?
  ?- g(X,Y).
  X = t(_023,_024) , Y = t(_023,_025)
  
  ?- g(t(X,Y),Z).
  X = _ , Y = _ , Z = t(X,_026)
  
  ?- g(t(a,b),Z).
  Z = t(a,_027)
  
  ?- gh(X,Y).
  X = gh(Y,_028) , Y = _
  
  ?- gh(X,c).
  X = gh(c,_029)
  
  ?- gh(X,X).
  Error 7, System Stack Full, Trying vars/2
  
  
• Modelování aritmetiky
• reprezentace přirozených čísel pomocí termů 0, s(0), s(s(0)),...
  natural(0).
  natural(s(X)) :- natural(X).
  
• nad přirozenými čísli jsme definovali predikáty even(X), odd(X) - X je sudé/liché přirozené číslo
• leq(X,Y) - přirozené číslo X je menší nebo rovno přirozenému číslu Y, různá řešení
• Je možné modifikovat leq/2 tak, aby volání leq(-X,-Y) vrátilo v konečném počtu kroků libovolnou dvojici přirozených čísel menších než n?
• lt(X,Y) - přirozené číslo X je menší než přirozené číslo Y, různá řešení
• add(X,Y,Z) - Z je součet přirozených čísel X a Y, různá řešení
• mul(X,Y,Z) - Z je součin přirozených čísel X a Y
• pow(X,Y,Z) - Z = X^Y
• Jednoduché predikáty pro práci se seznamy:
• member(X,S), je_seznam(S)
• sudy(S), lichy(S) - uspěje, je-li S seznam sudé délky / liché délky
• pridejnazacatek(Seznam,Prvek,Vysledny), pridejnakonec(Seznam,Prvek,Vysledny), smazprvni(Seznam,Vysledny), smazposledni(Seznam,Vysledny)
• prefix(Seznam,Prefix), suffix(Seznam,Suffix)
• usek(Seznam, Usek) - pomoci prefixu a suffixu

3. cvičení 19.3.2009

• Na příštím cvičení budeme psát test!
• Řešení minulého domácího úkolu - mladsisestra/2, starsibratr/2, nejmladsisestra/2, nejstarsibratr/2
• Další predikáty pro práci se seznamy
• podseznam(+S,?PodS) - seznam PodS je podseznamem seznamu S (ve smyslu podmnožiny). Predikát postupně generuje všechny podseznamy seznamu. Například pro S=[a,b,c,d] generuje podseznamy [a,b,c,d], [b,c,d], [c,d], [d],[], [a,c,d], [a,d] atd.
• prostredni(S,X) - X je prostředním prvkem seznamu S. Řešení trikem:
  prostredni(+S,-X):- prostredni(+S,+S,-X).
  prostredni([_],[X|_],X).
  prostredni([_,_],[X|_],X).
  prostredni([_,_|T1],[_|T2],X):- prostredni(T1,T2,X).
  
• spoj(S1,S2,S) - seznam S je konkatenací seznamů S1 a S2
• reversespoj(S1,S2,S) - seznam S je konkatenací obráceného seznamu S1 a seznamu S2. Řešení pomocí akumulátoru.
• reverse(?S,?OS) - seznam OS vznikne otočením seznamu S. Různá řešení - elegantně pomocí reversespoj/3.
• rotace(?S,?RS) - rotace seznamu o jeden prvek. Například, je-li S=[a,b,c,d], bude RS = [b,c,d,a]. Různá řešení - elegantně pomocí reverse/2
• Aritmetika v Prologu
• Úvod do aritmetiky - operátor is, relační operátory
• min(+X,+Y,?Min) - Min je minimum čísel X a Y
• minseznam(+S,?Min) - Min je minimální prvek seznamu S. Různá řešení - rekurzivně / iterativně za využití akumulátoru.
• minsort(+T,-ST) - T je seznam, ST je setříděný seznam T metodou přímého výběru minima. Řešení pomocí minseznam/2 a vhodného delete/3.
• mezi(+X,+Y,-Z) - Generuje postupně všechna čísla Z taková, že X <= Z <= Y
• mezi1(+X,+Y,-S) - S je seznam všech čísel takových, že X <= Z <= Y

4. cvičení 26.3.2009

• Myšlenka řešení minulého domácího úkolu - napoloviny/3, natretiny/4, polovinymuzu/3, tretinymuzu/4,
• Aritmetika v Prologu - pokračování
• soucet(+S1,+S2,-S) - Sečte seznamy čísel S1 a S2 prvek po prvku, výsledek je v seznamu S. Uspěje jen za předpokladu, že S1 a S2 jsou stejně dlouhé
• mensi(+S1,+N,-S) - Vybere ze seznamu (kladných čísel) S1 prvky menší než je N do seznamu S.
• vyber(+S1,+N,-S) - Vybere ze seznamu (kladných čísel) S1 prvky se součtem N do seznamu S. Funguje opakovaně díky backtrackingu. Našli jsme různá řešení.
• kombinace(+S1,+K,-S) - Postupně backtrackingem ze seznamu S1 generuje všechny K-prvkové kombinace (podmnožiny) prvků.
• Na rozmyšlenou: variace(+S1,+K,-S) - Postupně ze seznamu S1 generuje všechny K-prvkové variace prvků. Dal by se přitom využít predikát permutace(+S,-T)?
• Operátor řezu !
• Rozdíl mezi =, ==, =:=, \=, \==, =\=
• Máme program p(1). p(2):-!. p(3). Jak bude vypadat odpověř programu na následující dotazy?
  ?-p(X).
  ?-p(X),p(Y).
  ?-p(X),!,p(Y).
  
  
  ?-p(X).
  X=1;X=2
  
  ?-p(X),p(Y).
  X=Y=1;
  X=1,Y=2;
  X=2,Y=1;
  X=Y=2
  
  ?-p(X),!,p(Y).
  X=Y=1;
  X=1,Y=2
  
  
• Negace v Prologu pomocí operátoru řezu:
  notmember(X,S):-member(X,S),!,fail.
  notmember(_,_).
  
  not(X):- X,!,fail.
  not(X).
  
  
• Na rozmyšlenou: V čem spočívá problém s negací v Prologu? Není zde jistá souvislost s problémem zastavení Turingova stroje?
• Modelování if-then-else v Prologu pomocí operátoru řezu (if b then c else d):
  a(X):-b(X),!,d(X).
  a(X):-c(X).
  
• Další užitečné predikáty pro práci se seznamy
• substituce(+X,+S,+Y,-T) - Za každý prvek X v seznamu S substituuj prvek Y. Výsledek je seznam T. Různá řešení - využití operátoru řezu.
• multijoin2(+S,-T) - Prvky seznamu S jsou buď atomy nebo seznamy. Seznam T vznikne "rozbalením" těchto seznamů. Pokud je prvkem S seznam, je nahrazen výčtem svých prvků. Například pro S=[a,b,[c,d],e,[],f] je T=[a,b,c,d,e,f]. Pro S=[a,b,[[e],[]],f,[],g] je T=[a,b,[e],[],f,g].
• Unární aritmetika
• [] reprezentuje 0, [1] reprezentuje 1, [1,1,1,1,1] reprezentuje 5, atd.
• soucet(+X,+Y,-S) - Sčítání v unární aritmetice pomocí konkatenace seznamů.
• soucin(+X,+Y,-S) - Násobení v unární aritmetice. Různá řešení. Hezký trik:
  nasob(A,B,C):-substituce(1,A,B,S),multijoin2(S,C).
• Na rozmyšlenou: predikáty pro odčítání a dělení v unární aritmetice.
• Matice
• Matice reprezentujeme jako seznamy řádků.
• prvekMatice(+M,?X) - X je prvkem matice M. Různá řešení. Hezký trik pomocí multijoin2.
• Na rozmyšlenou: transpozice(+M,-TM) - transpozice matice M.

5. cvičení 2.4.2009

• Rozbor testíku z minulého cvičení, správné řešení, bodování, nejčastější chyby
• POZOR: Protože testík dopadl pro řadu studentů dost katastrofálně, rozhodla jsem se lehce pozměnit podmínky na zápočet. Další podmínkou získání zápočtu bude získání nadpolovičního počtu bodů z alespoň jedné písemky. Testíky se budou psát do konce semestru asi ještě dva. Kdo má z prvního testíku více než 3 body, má tuto podmínku už splněnou. Pro podrobnosti o možnosti převodu bodů za testík na body za domácí úkoly či prezenci si přečtěte Podmínky.
• permutace(+S1,+S2)
• kazdyNty(+S1,+N,-S)
• Myšlenka řešení minulého domácího úkolu - multijoin/2, nasob/3
• POZOR: Bohužel se našli takoví studenti, co mi poslali naprosto identická řešení domácí úlohy. Přípomínám, že pokud něco takového odhalím příště, nebudu zjišťovat, kdo od koho kopíroval, a ani jednomu úkol neuznám! "Recidivisté" pak ať nepočítají s tím, že ode mě dostanou zápočet!
• Součtové seznamy
• Pro jaké operace se tato datová struktura hodí?
• Základní operace nad součtovými seznamy: přidej prvek na začátek, přidej prvek na konec, smazání prvku ze začátku, smazání prvku z konce, otočení, převod mezi obyčejným a součtovým seznamem
• Rozdílové seznamy
• Popis. Pro jaké operace se tato datová struktura hodí?
• concat(A-B,B-C,A-C) - vysvětlení, jak to vlastně funguje.
• quicksort(+Seznam,-RozdilovySeznam) - další využití rozdílového seznamu pro snížení časové složitosti.
• Některé standardní predikáty
• atom(X). X je atom
  atomic(X). X je atom nebo číslo
  number(X). X je číslo
  var(X). X je nekonkretizovaná proměnná
  nonvar(X).
  
• Sčítání, kde libovolný argument může být proměnná
  scit(A, B, C) :- number(A), number(B), C is A + B.
  scit(A, B, C) :- number(A), var(B), number(C), B is C - A.
  scit(A, B, C) :- var(A), number(B), number(C), A is C - B.
• Další využití např. při vyhodnocování aritmetických výrazů (bude na příštím cvičení).
• Matice - pokračování
• transpozice(+M,-TM) - převod matice na transponovanou matici. Řešení pomocí prvnisloupec(+Matice,-PrvniSloupec,-Zbytek).
• otoc(+M,-OM) - otočení matice o 90 stupňů doprava. Různá řešení - např. pomocí transpozice a otočení seznamu.

6. cvičení 9.4.2009

• Na příštím cvičení si popovídáme o zápočtových programech. Pokud zbyde čas, začneme cvičit SCHEME.
• Rozbor řešení minulého domácího úkolu - nextPerm (v lineárním čase), nthPerm (s kvadratickou časovou složitostí). Predikát nthPerm zůstal jako domácí úkol na příště (teď už jsme si řekli, jak na to).
• Matice - hrátky se spirálou.
• rozbal(+M,-S) - Do seznamu S vkládá prvky matice M tak, jak leží na spirále. Různá řešení - a) 4 predikáty, b) pomocí otočení o 90 stupňů, c) pomocí inverzní operace.
• zabal(+M,+N,+S,-Mat) - Inverzni predikat k predikatu rozbal/2. Prvky seznamu S posklada po spirale do matice Mat tvaru MxN. Řešení pomocí inverzní operace.
  zabal(+M,+N,+Vektor,-Matice):-generujMatici(M,N,MP), rozbal(MP,VP), Vektor=VP, Matice=MP.
  
  % generujVektor(+N,-V) vygeneruje vektor volných proměnných délky N.
  generujVektor(0,[]).
  generujVektor(X,[_|T]):-Y>0, Y is X-1,generujVektor(Y,T).
  
  % generujMatici(+M,+N,-Mat) vygeneruje matici volných proměnných tvaru MxN.
  generujMatici(1,N,[V]):-generujVektor(N,V).
  generujMatici(M,N,[V|Zb]):-M>1,M1 is M-1, generujVektor(N,V),generujMatici(M1,N,Zb).
  
  
• Operátor =..
• Přístup k parametrům struktury, konstrukce struktury z parametrů.
• Term =.. Seznam % Seznam = [Funktor|Argumenty]
• maplist(+Predikát,+Seznam,-Výsledek) Aplikuje Predikát/2 na každý prvek seznamu Seznam. Výsledek je výsledný seznam.
• Na rozmyšlenou Definujte predikát substituce(+Term, +Co, +Cim, -VyslTerm), který provede v termu Term substituci všech podtermů Co za termy Cim. Výsledný term je VyslTerm.
• Operátor name
• name(?Atom,?Seznam) Převod atomu na řetězec a nebo zpět. Řetězec v Prologu je reprezentován jako seznam ASCII kódů písmen.
• lexik(+Atom1,+Atom2) Lexikografické uspořádání dvou atomů.
• Operátory, které sesbírají všechny termy s nějakou vlastností
• bagof(+Term,+Cíl,-Seznam) Seznam je seznam všech instancí Termu, které splňují Cíl.
• setof(+Term,+Cíl,-Seznam) Totéž, ale Seznam je uspořádaný, bez duplicit.
• findall(+Term,+Cíl,-Seznam) Shromáždí všechna řešení bez ohledu na volné proměnné,vždy uspěje.
  
  hrana(a,b).
  hrana(a,c).
  hrana(a,d).
  hrana(b,c).
  
  ?-bagof(X,trida(X,c),S). % odkud vede hrana do c?
  X=_,S=[a,b].
  
  ?- bagof(op(c,X),hrana(X,c),S). % mohu vytvářet strukturu
  X=_,S = [op(c,a),op(c,b)]
  
  ?- bagof(X,hrana(X,a),S). % Nesplnění cíle - neúspěch.
  no
  
  ?-bagof(X,hrana(X,Y),S). % odkud vede hrana?
  X = _ , Y = b ,S = [a] ;
  X = _ , Y = c ,S = [a,b] ;
  X = _ , Y = d , S = [a] ;
  
  ?- findall(X,hrana(X,Y),S). % odkud vede hrana?
  X = _ , Y = _ , S = [a,a,b,a]
  
  
• Práce se vstupem a výstupem
• Konečný a nekonečný cyklus.
• Interakce programu s uživatelem.
• Operátory
• Definice operátorů pomocí predikátu op
  :-op(+Priorita,+Asociativita,+Atom).
• Stromy
• Různé reprezentace. Binární stromy (z přednášky). Binární vyhledávací stromy.
• Reprezentace obecného stromu pomocí binárního.
• Reprezentace binárního vyhledávacího stromu seznamem seznamů. Uzel je seznam [H,L,P]. List je seznam [H,_,_]. Definovali jsme predikát insert(+X,+Strom,-VyslednyStrom).
• Definice stromu pomocí operátoru + (např. T=(a+b)+(c+(d+e))). Prvky jsou uloženy v uzlech stromu. Definovali jsme predikát member(+X,+Strom).
• Aritmetické výrazy
• Symbolické derivování.
• Zjednodušení aritmetického výrazu.

7. cvičení 16.4.2009

• Povídání o zápočtových programech
• Různé návrhy témat. Náčrt témat navrhnutých na cvičení.
• Další zdroje možných témat: Hric, Dvořák, Barták.
• Téma zápočtového programu byste si měli vybrat do příště. Poté, co se na tématu dohodneme, mi pošlete specifikaci (podrobnější zadání) programu. Termín na odeslání specifikace je 30.duben.
• Příště budeme psát testík! Budou tam 1-2 příklady na Prolog (nejspíše tam budou operátory, =.., matice nebo stromy) a 1-2 jednoduché příkládky na SCHEME (např. jednoduché výpočty či operace se seznamy).
• Lisp - SCHEME
• Syntaxe LISPu. Základní formy ve SCHEME. Definice funkcí.
• Definovali jsme jednoduché funkce:
• Výpočet faktroriálu.
• Výpočet n-tého fibonacciho čísla. Více variant.
• Výpočet délky seznamu.
• Konkatenace dvou seznamů.
• Na rozmyšlenou: Otočení seznamu pomocí akumulátoru.
• Na rozmyšlenou (budeme cvičit příště, nebude v testíku): Závěsný prostorový mobil (zadání z přednášky).
• Na rozmyšlenou (budeme cvičit příště, nebude v testíku): Binární stromy v LISPU.

8. cvičení 23.4.2009

• Zápočtové programy
• Připomínám, že termín na výběr tématu zápočtového programu a poslání specifikace (podrobného zadání) je 30. duben!!!
• Náhrada testíku Kdo nebyl na cvičení 23.4. a chtěl by si napsat testík, náhradní termín je na příštím cvičení (popř. ihned po něm). Nabídka samozřejmě platí i pro ty, kteří testík sice psali, ale chtěli by si ho radši napsat ještě jednou :-).
• SCHEME - pokračování
• Definovali jsme funkci (map f s), která má jako parametry funkci f (f je funkce s jedním parametrem) a seznam s. Funkce map aplikuje funkci f na každý prvek seznamu s a vrátí výsledný seznam.
  ( define (map f s) ( if (= s nil ) nil ( cons (f ( car s)) (map f (cdr s)))))
• Definovali jsme funkci (app s f g), která má jako parametry seznam s, funkci g (g je funkce s jedním parametrem) a funkci f (f je funkce se dvěma parametry). Funkce app aplikuje funkci f na poslední prvek seznamu s a funkci g rekurzivně na další prvek seznamu a zbytek ("to, co přišlo z rekurze"). Například pro seznam (list 1 2) funkce app spočte ( f 1 (g 2)), pro seznam (list 1 2 3 4) funkce app spočte ( f 1 ( f 2 ( f 3 (g 4)))).
  ( define (app s f g) ( if (= (cdr s) nil ) ( g (car s) ) ( f (car s) ( app (cdr s) f g ))))
• Vynásobení všech prvků seznamu dvěma pomocí funkce map.
• Výpočet délky seznamu, součinu prvků v seznamu a minimálního prvku seznamu pomocí funkce app.
• Binární stromy v LISPu:
  ( define (tree V L R) (list V L R))
  ( define (emptyT) nil)
  ( define (value s) (car s))
  ( define (left s) (cadr s))
  ( define (right s) (caddr s))
  
• Prvek binárního stromu.
• Insert do binárního vyhledávacího stromu.
• Delete z binárního vyhledávacího stromu.
• Prostorový mobil
• Funkce, která zjistí, zda je mobil vyvážený.
• Funkce, která mobil vyváží.
• Funkce, která zjistí, zda mobil cinká.
• Na rozmyšlenou: Na cvičení jsme nastínili myšlenku řešení. Samotná implementace funkcí v Lispu / Prologu / Haskellu je na vás :-).

9. cvičení 30.4.2009

• HASKELL - úvod
• Definice funkcí (včetně typů), curryfikace, anonymní funkce, chybové hlášky (definice vlastních), anonymní proměnné
• Jednoduché funkce - součet pětkrát jinak. Výpočet faktoriálu.
• Základní vzory (patterns) na jednoduchých příkladech - stráže, let, where, if, case, @
• Jednoduché funkce - signum třikrát jinak, výpočet největšího společného dělitele, krácení čísel,...
• Seznamy vs. ntice, řetězce jako seznamy, ++, head, tail, fst, snd
• Rozsahy, generování (nekonečných) seznamů
• Jednoduché funkce - kartézský součin seznamů, nekoněčný seznam přirozených čísel, nekonečný seznam nul.
• Definovali jsme základní funkce nad seznamy - take (vezme prvních n prvků seznamu), map, takemap.

10. cvičení 7.5.2009

• HASKELL - pokračování - definice infixových operátorů, deklarace priority a asociativity, operátor skládání funkcí (.), výpis typu výrazu (:t vyraz), booleovské operace, ==, /=,...
• Seznamy - pokračování
• Standardní funkce nad seznamy v souboru standard.pre (Prelude.hs): head, tail, null, length, ++, !!, take, map, drop (viz. minule)
• Definovali jsme funkci splitAt f s, která rozdělí seznam na pozici f s (použili jsme standartní funkce take a drop).
  splitAt:: ([a]-> Integer) -> [a] -> ([a],[a])
  
• Definovali jsme standartní funkci takeWhile, která je obdobou while cyklu (dokud prvky splňují podmínku, dávej je do výsledného seznamu).
  takeWhile :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
• Pomocí takeWhile jsme definovali funkci kladny, která vrátí kladný prefix seznamu.
  kladny :: [Int] -> [Int]
  kladny = takeWhile (>0)
  
• Definovali jsme standartní funkci filter, která vloží do výsledného seznamu jen ty prvky původního seznamu, které splňují podmínku.
  filter :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
• Pomocí filter jsme definovali funkci kladny1, která vrátí všechny kladné prvky seznamu.
  kladny1 :: [Int] -> [Int]
  kladny1 = filter (>0)
  
• Pomocí filter jsme definovali třídící funkci quicksort.
  qsort :: [Int] -> [Int]
  qsort [] = []
  qsort (x:xs) = qsort (filter (< x) xs) ++ x: qsort (filter (>= x) xs)
  
• Definovali jsme standartní funkci zip, která má na vstupu dva seznamy a vloží do výsledného seznamu dvojice prvků (zbytek delšího ze seznamů zahodí).
  zip :: [a] -> [b] -> [(a,b)]
• Nekonečné seznamy, rozdíl mezi [(x,y) | (x,y) <- zip s t ] a [(x,y) | x <-s, y <-t ], nuly, přirozená čísla pětkrát jinak, mocniny,...
  
• Pomocí zip jsme definovali Fibonacciho posloupnost.
  fibon :: [Integer]
  fibon = 0:1: [x+y | (x,y) <- zip fibon (tail fibon) ]
• Definovali jsme standartní funkci zipWith, která funguje jako zip, ale aplikuje funkci na výslednou dvojici.
  zipWith :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]
• Pomocí zipWith jsme definovali funkci soucetVektoru, která sečte dva celočíselné seznamy.
  soucetVektoru :: [Integer] -> [Integer] -> [Integer]
  soucetVektoru = zipWith (+)
• Definovali jsme standartní funkci flip, která prohodí parametry funkce.
  flip :: (a -> b -> c) -> b -> a -> c
  flip f y x = f x y
  > zipWith (flip' div) [2,2..] [10,8,6,4,2]
  [5,4,3,2,1]
• Definovali jsme funkce merge, split a následně i mergesort.
  merge :: ([Int],[Int]) -> [Int]
  split :: [Int] -> ([Int],[Int])
  

11. cvičení 14.5.2009

• Seznamy - pokračování
• Standardní funkce foldl a foldr
  
• Pomocí funkcí foldl/foldr jsme definovali funkce pro součet prvků seznamu, skalární součin prvků seznamu a otočení seznamu.
• Matice jako seznamy seznamů
• Definovali jsme funkci unitMat, která vytvoří jednotkovou matici jako nekonečnou datovou strukturu.
  unitMat :: [[Int]]
• Definovali jsme funkci dMat, která vytvoří (potenciálně nekonečnou) matici s danou diagonálou.
  dMat :: Int -> [[Int]]
• Definovali jsme funkci soucetMatic, která sečte dvě matice stejných rozměrů.
  soucetMatic :: Num a => [[a]] -> [[a]] -> [[a]]
  soucetMatic = zipWith (zipWith (+))
• Definovali jsme funkci transponuj, která transponuje matici (pomocí zipWith).
  transponuj :: [[a]] -> [[a]]
• Definovali jsme funkci podmatice x1 x2 y1 y2, která z matice vybere podmatici s danými souřadnicemi levého horního a pravého dolního rohu (pomocí map, take a drop).